Думаю, что по-своему обе стороны правы:
Те, кто говорят, что одно и то же, правы в том, что это однокоренные слова, происходящие из одного древнееврейского слова-корня «Эль» (буквально, «Сила», «Бог»), из древнееврейского это слово пришло в арамейский язык - «Элах», и через арамейский пришло в арабский язык - «Илах» с добавлением артикля единственного числа «Аль» - «Аль-Илах» – «Аллах».
А те, кто говорят, что это разные слова, те тоже правы в том, что «Аллах» - это только единственное число, а «Элохим» - это множественное число, которое может употребляться и в смысле единства.
И еще имеются отдельные (не все) исламские богословы, которые отрицают данные этимологии (науки о происхождении слов) по поводу происхождения слова «Аллах», и веруют, что слово «Аллах» из ниоткуда возникло, но это уж каждый волен веровать во все что угодно.