Очень даже занимается, а в наше время очень даже активно >> Синодальный Миссионерский отдел РПЦ
В этом нет необходимости. Это, как говорится, не надо учить учёного.
К тому же, это будет не миссионерство, а общение между Христианами.
Извините, но Церковь Христова часто напоминает о исторических доказательствах, если возникает необходимость.